Matemática para o Enem - Números Inteiros
Matemática para o Enem - Números Inteiros
Os números inteiros são aqueles que podem ter sinal positivo ou negativo, mas não podem ter casas decimais.
São números inteiros: 7, 4, 5, -3, -4.
Não são números inteiros 5,3, 6,5, 7,5.
Números inteiros no dia a dia
Quando medimos uma temperatura podemos obter um número inteiro. Por exemplo, temperatura de -10 graus celsius.
Representação dos números inteiros
O conjunto dos números inteiros é representado por um Z estilizado seguido do sinal de igualdade e de chaves, entre as quais estão representado alguns de seus elementos.
Z = { ... -2, -1, 0, 1, 2 ...}
Módulo de um número inteiro
O módulo ou valor absoluto de um número inteiro (que é a distância do número até o zero, na retal real) pode ser calculado através da seguinte regra:
| x | = x, se x >= 0 (x maior ou igual a zero)
-x, se x < 0 (x menor que zero).
Ex.:
| -7 | = -(-7) = 7 (módulo de menos 7)
| - 15 | = 15
| -43| = 43
| 0 | = 0
| 3 | = 3.
Obs.: +a = a
Exemplo:
+ 3 = 3
+ 4 = 4
Adição de inteiros
Se os sinais forem iguais:
Dois números positivos
Ex.:
a + b = a + b
7 + 2 = 9
8 + 4 = 12.
Dois números negativos
-a + - b = -(a + b)
Ex.: -3 + -5 = -(3 + 5) = -8.
Sinaia Diferentes
Quando os números têm sinais diferentes devemos calcular a diferença entre os módulos dos números e o resultado terá o sinal do número de maior módulo.
Ex.:
7 + -10
7 + - 10 = 7 + (-10) = 7 - 10
Módulo de 7: | 7 | = 7
Módulo de -10: | -10 | = 10.
Maior módulo: 10.
Como o 10 tem sinal negativo, a soma terá sinal negativo.
Calculando a diferença entre 10 e 7:
10 - 7 = 3
Logo:
7 + -10 = -3.
Exemplo:
6 + (-8 ) + 10
Solução:
Primeiro vamos calcular 6 + (-8):
| - 8 | = 8
| 6 | = 6.
Diferença entre 8 e 6:
8 - 6 = 2.
Como o número de maior módulo tem sinal negativo, o resultado da operação será negativo.
6 + (-8) = -2.
Agora, vamos somar esse resultado com 10:
6 + (-8) + 10 = -2 + 10
| - 2 | = 2
| 10 | = 10
Como o número de maior módulo tem sinal positivo (+10), o resultado da operação será positivo.
10 - 2 = 8
-2 + 10 = 8.
Exercícios:
1. Calcule:
a ) - 6 + 6 -5 + 4
b ) - 10 + 8 + (- 3)
c ) - 20 + (-3) + 5
2. Um robô se move para a direita ou para a esquerda. Sempre executando um passo de um metro.
Se esse robô partir de um ponto O e fizez 2019 movimentos, é possível ele parar novamente em O? Justifique sua resposta.
3. Calcule a seguinte soma:
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100.
Dicas: Há 100 números na soma.
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101.
Respostas:
1. a ) - 1
b ) -5
c ) -18.
2. É impossível o robô retornar ao ponto de origem O fazendo uma quantidade ímpar de movimento.
Se cada passo a esquerda é -1 e cada passo para a direita é 1.
Para o robô retornar a O, para cada 1 metro andado pra esquerda, ele deve andar um metro para a esquerda, para retornar à origem. Dessa forma, ele só poderá retornar à origem se fizer uma quantidade par de movimento.
3.
Observe que a soma dos números extremos sempre dá o mesmo valor:
1 + 100 = 101.
2 + 99 = 101.
3 + 98 = 101.
...
50 + 51 = 101.
Como há 100 números, há 50 pares a serem somados:
50 * 101 = 5050.
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Os números inteiros são aqueles que podem ter sinal positivo ou negativo, mas não podem ter casas decimais.
São números inteiros: 7, 4, 5, -3, -4.
Não são números inteiros 5,3, 6,5, 7,5.
Números inteiros no dia a dia
Quando medimos uma temperatura podemos obter um número inteiro. Por exemplo, temperatura de -10 graus celsius.
Representação dos números inteiros
O conjunto dos números inteiros é representado por um Z estilizado seguido do sinal de igualdade e de chaves, entre as quais estão representado alguns de seus elementos.
Z = { ... -2, -1, 0, 1, 2 ...}
Módulo de um número inteiro
O módulo ou valor absoluto de um número inteiro (que é a distância do número até o zero, na retal real) pode ser calculado através da seguinte regra:
| x | = x, se x >= 0 (x maior ou igual a zero)
-x, se x < 0 (x menor que zero).
Ex.:
| -7 | = -(-7) = 7 (módulo de menos 7)
| - 15 | = 15
| -43| = 43
| 0 | = 0
| 3 | = 3.
Obs.: +a = a
Exemplo:
+ 3 = 3
+ 4 = 4
Adição de inteiros
Se os sinais forem iguais:
Dois números positivos
Ex.:
a + b = a + b
7 + 2 = 9
8 + 4 = 12.
Dois números negativos
-a + - b = -(a + b)
Ex.: -3 + -5 = -(3 + 5) = -8.
Sinaia Diferentes
Quando os números têm sinais diferentes devemos calcular a diferença entre os módulos dos números e o resultado terá o sinal do número de maior módulo.
Ex.:
7 + -10
7 + - 10 = 7 + (-10) = 7 - 10
Módulo de 7: | 7 | = 7
Módulo de -10: | -10 | = 10.
Maior módulo: 10.
Como o 10 tem sinal negativo, a soma terá sinal negativo.
Calculando a diferença entre 10 e 7:
10 - 7 = 3
Logo:
7 + -10 = -3.
Exemplo:
6 + (-8 ) + 10
Solução:
Primeiro vamos calcular 6 + (-8):
| - 8 | = 8
| 6 | = 6.
Diferença entre 8 e 6:
8 - 6 = 2.
Como o número de maior módulo tem sinal negativo, o resultado da operação será negativo.
6 + (-8) = -2.
Agora, vamos somar esse resultado com 10:
6 + (-8) + 10 = -2 + 10
| - 2 | = 2
| 10 | = 10
Como o número de maior módulo tem sinal positivo (+10), o resultado da operação será positivo.
10 - 2 = 8
-2 + 10 = 8.
Exercícios:
1. Calcule:
a ) - 6 + 6 -5 + 4
b ) - 10 + 8 + (- 3)
c ) - 20 + (-3) + 5
2. Um robô se move para a direita ou para a esquerda. Sempre executando um passo de um metro.
Se esse robô partir de um ponto O e fizez 2019 movimentos, é possível ele parar novamente em O? Justifique sua resposta.
3. Calcule a seguinte soma:
1 + 2 + 3 + 4 + ... + 97 + 98 + 99 + 100.
Dicas: Há 100 números na soma.
1 + 100 = 101
2 + 99 = 101
3 + 98 = 101.
Respostas:
1. a ) - 1
b ) -5
c ) -18.
2. É impossível o robô retornar ao ponto de origem O fazendo uma quantidade ímpar de movimento.
Se cada passo a esquerda é -1 e cada passo para a direita é 1.
Para o robô retornar a O, para cada 1 metro andado pra esquerda, ele deve andar um metro para a esquerda, para retornar à origem. Dessa forma, ele só poderá retornar à origem se fizer uma quantidade par de movimento.
3.
Observe que a soma dos números extremos sempre dá o mesmo valor:
1 + 100 = 101.
2 + 99 = 101.
3 + 98 = 101.
...
50 + 51 = 101.
Como há 100 números, há 50 pares a serem somados:
50 * 101 = 5050.
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